綜合法與分析法證明不等式
綜合法是一種推理方式，那它是怎么來(lái)證明不等式的呢?下面就是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的綜合法證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。
綜合法r如何證明不等式
若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?
解：ab-3=a+b>=2根號(hào)ab
令T=根號(hào)ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根號(hào)ab>=3，
故，ab>=9 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3是取等號(hào))
已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，用綜合法證明
2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)
證明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0
--->(a+b)(a-b)^2>=0
--->(a^2-b^2)(a-b)>=0
--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0
--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2
同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2
三同向的不等式的兩邊相加得到
2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b
就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.證完
1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)
2.設(shè)x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
對(duì)滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是
1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)
解：lg(a^2+1)
<==>a^2+1
<==>a^2
<==>|a|<|b|≠=>a
且a|a|<|b|,
∴lg(a^2+1)
2.設(shè)x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為
解：x/(1+x)+1/2-1
=(x-1)/[2(x+1)]>0,
∴x/(1+x)+1/2>1.
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
對(duì)滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是
解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化為
β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,
而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,
∴β的取值范圍是(-∞，4]。
綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據(jù)不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過(guò)的不等式來(lái)進(jìn)行。 綜合法.從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項(xiàng)得 .綜合法的證明過(guò)程表現(xiàn)為一連串的“因?yàn)?hellip;…所以……”，可用一連串的“ ”來(lái)代替.
綜合法的證明過(guò)程是下一節(jié)課學(xué)習(xí)的不等式的.證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過(guò)程的逆推，而分析法的證明過(guò)程恰恰是綜合法的思考過(guò)程。 實(shí)際上在前面兩個(gè)重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質(zhì)證明當(dāng)中，我們已經(jīng)運(yùn)用了綜合法，但當(dāng)時(shí)只是沒(méi)有提出或采用這個(gè)名字而已。本節(jié)課是不等式的證明的每第二節(jié)課，由于立方不等式已移至閱讀材料當(dāng)中，故例題只有一個(gè)，是運(yùn)用平方不等式來(lái)作為基礎(chǔ)工具。
綜合法與分析法
一.比較法
所謂比較法，就是通過(guò)兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的差或商的符號(hào)(范圍)確定a與b大小關(guān)系的方法，即通過(guò)
來(lái)確定a,b大小關(guān)系的方法。
前者為作差法，后者為作商法。但要注意作差法適用范圍較廣;作商法再用時(shí)注意符號(hào)問(wèn)題，如果同為正的話是沒(méi)有問(wèn)題的，同為負(fù)的話記得改變不等式的符號(hào)。
二.分析法和綜合
這兩個(gè)方法我們一般會(huì)一起使用，分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。綜合法是從已知或證明過(guò)的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式。
我們來(lái)看一個(gè)例題，已知
如果要用綜合法或者分析法的話，對(duì)于過(guò)程上需要寫明，即證，所以要證，也就是說(shuō)，即等價(jià)于……一些轉(zhuǎn)化的語(yǔ)句來(lái)過(guò)渡我們的題目，當(dāng)然這兩個(gè)方法我們經(jīng)常一起用，因?yàn)榉治鐾陾l件，分析結(jié)論，兩個(gè)一起分析做題速度更快一些呢。
三.反證法
從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的`。這個(gè)方法其實(shí)是按照集合的補(bǔ)集理論來(lái)的，正難則反，但是要注意用反證法證明不等式時(shí)，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形都要考慮到，不能少的。
反證法證明一個(gè)命題的思路及步驟：
1) 假定命題的結(jié)論不成立;
2) 進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;
3) 由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的;
4) 肯定原來(lái)命題的結(jié)論是正確的。
不等式知識(shí)點(diǎn)歸納
不等式知識(shí)點(diǎn)一、高考數(shù)學(xué)中不等式考試要點(diǎn)
在解決問(wèn)題時(shí)，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明。高考數(shù)學(xué)中不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)之中。諸如集合問(wèn)題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問(wèn)題，無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問(wèn)題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。
(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明。
(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式。
(4)掌握簡(jiǎn)單不等式的解法。
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
高考數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)二、高考數(shù)學(xué)中不等式證明方法
1、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之比較法
包括比差和比商兩種方法。
2、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之綜合法
證明不等式時(shí)，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒ā?/p>
3、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之分析法
證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)證明過(guò)的定理、簡(jiǎn)單事實(shí)或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的.方法。
4、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之放縮法
證明不等式時(shí)，有時(shí)根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡(jiǎn)，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱為放縮法。
5、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之?dāng)?shù)學(xué)歸納法
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。
在證明第二步時(shí)，一般多用到比較法、放縮法和分析法。
6、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之反證法
證明不等式時(shí)，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。
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