數(shù)列公式
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，且每一項都不為0(常數(shù))，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。以下是小編給大家整理收集的數(shù)列公式，供大家閱讀參考。
數(shù)列公式 1
等比數(shù)列求和公式
1.等比數(shù)列通項公式
an=a1×q^(n-1);
推廣式：an=am×q^(n-m);
2.等比數(shù)列求和公式
Sn=n×a1(q=1);
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)=a1(q^n-1)/(q-1)(q≠1);
(q為公比，n為項數(shù))。
3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q);
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1);
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1);
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n;
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q);
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q);
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q);
(8)Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)。
數(shù)列公式 2
公式
Sn=(a1+an)n/2
Sn=na1+n(n-1)d/2; （d為公差）
Sn=An2+Bn; A=d/2,B=a1-(d/2)
和為 Sn
首項 a1
末項 an
公差d
項數(shù)n
通項
首項=2×和÷項數(shù)-末項
末項=2×和÷項數(shù)-首項
末項=首項+（項數(shù)-1）×公差
項數(shù)=（末項-首項）（除以）/ 公差+1
公差=如：1+3+5+7+……99 公差就是3-1
d=an-a
性質(zhì)：
若 m、n、p、q∈N
①若m+n=p+q，則am+an=ap+aq
②若m+n=2q，則am+an=2aq
注意：上述公式中an表示等差數(shù)列的第n項。
數(shù)列公式 3
如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的.公比，公比通常用字母q表示。
(1)等比數(shù)列的通項公式是：An=A1×q^(n-1)
若通項公式變形為an=a1/q*q^n(n∈N*),當(dāng)q>0時，則可把an看作自變量n的函數(shù)，點(n,an)是曲線y=a1/q*q^x上的一群孤立的點。
(2) 任意兩項am，an的關(guān)系為an=am·q^(n-m)
(3)從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}
(4)等比中項：aq·ap=ar^2，ar則為ap，aq等比中項。
(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an
①當(dāng)q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q)
②當(dāng)q=1時， Sn=n×a1(q=1)
記πn=a1·a2…an，則有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底數(shù)數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列;反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪Can，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
數(shù)列公式 4
1、愛因斯坦說過：“興趣是最好的老師。”新課程的教材比以前有了更多的背景足以說明。本節(jié)也以國際象棋的故事為引例來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，然而卻在求和公式的證明中以“我們發(fā)現(xiàn)，如果用公比乘…”一筆帶過，這個“發(fā)現(xiàn)”卻不是普通學(xué)生能做到的，他們只能驚嘆于解法的神奇，而求知欲卻會因其“技巧性太大”而逐步消退。因此如何在有趣的數(shù)學(xué)文化背景下進一步拓展學(xué)生的視野，使數(shù)學(xué)知識的發(fā)生及形成更為自然，更能貼近學(xué)生的認(rèn)知特征，是每一位教師研討新教材的重要切入點。
2、“課程內(nèi)容的呈現(xiàn)，應(yīng)注意反映數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，以及人們的認(rèn)識規(guī)律，體現(xiàn)從具體到抽象、特殊到一般的原則。”“教材應(yīng)注意創(chuàng)設(shè)情境，從具體實例出發(fā)，展現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，使學(xué)生能夠從中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，了解知識的'來龍去脈。”這些都是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對教材編寫的建議，更是對課堂教學(xué)實踐的要求。然而，在新課程的教學(xué)中，“穿新鞋走老路”仍是常見的現(xiàn)狀，“重結(jié)果的應(yīng)用，輕過程的探究”或者是應(yīng)試教育遺留的禍根，卻更與教材的編寫，教師對《課程標(biāo)準(zhǔn)》、教材研究的深淺有關(guān)，更與課堂教學(xué)實踐密切相關(guān)。我們也曾留足時間讓學(xué)生思考，卻沒有人能“發(fā)現(xiàn)”用“公比乘以①的兩邊”，設(shè)計“從特殊到一般”即由2，3，4，…到q，再到 ，也是對教學(xué)的不斷實踐與探索的成果。因此，新課程教材留給教師更多發(fā)展的空間，每位教師有責(zé)任也應(yīng)當(dāng)深刻理會《標(biāo)準(zhǔn)》的理念，認(rèn)真鉆研教材，促進《標(biāo)準(zhǔn)》及教材更加符合學(xué)生的實際。
3、先看文[1]由學(xué)生自主探究而獲得的兩種方法：
且不說初中教材已經(jīng)把等比定理刪去，學(xué)生能獲得以上兩種方法并不比發(fā)現(xiàn)乘以來得容易，無奈之下，有的教師便用“欣賞”來走馬觀花地讓學(xué)生感受一下，這當(dāng)然更不可取。
回到乘比錯位相減法，其實要獲得方法1并不難：可以用q乘以 ，那么是否可以在 的右邊提出一個q呢？請看：
與 比較，右邊括號中比少了一項： ，則有
以上方法僅須教師稍作暗示，學(xué)生都可完成。
對于方法2，若去掉分母有 ，與方法1是一致的。
4、在導(dǎo)出公式及證明中值得花這么多時間嗎？或者直接給出公式，介紹證明，可留有更多的時間供學(xué)生練習(xí)，以上過程，教師講的是不是偏多了？
如果僅僅是為了讓學(xué)生學(xué)會如何應(yīng)試，誠然以上的過程將不為人所喜歡，因為按此過程，一節(jié)課也就差不多把公式給證明完，又哪來例題與練習(xí)的時間呢？
但是我們要追問：課堂應(yīng)教給學(xué)生什么呢？課堂教學(xué)應(yīng)從龐雜的知識中引導(dǎo)學(xué)生去尋找關(guān)系，挖掘書本背后的數(shù)學(xué)思想，挖掘出基于學(xué)生發(fā)展的知識體系，教學(xué)生學(xué)會思考，讓教學(xué)真正成為發(fā)展學(xué)生能力的課堂活動。因此，本課例在公式的推導(dǎo)及證明中舍得花大量時間，便是為了培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探究與學(xué)習(xí)，其價值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了公式的應(yīng)用。
數(shù)列公式 5
小升初奧數(shù)之?dāng)?shù)列求和公式匯總
等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。
基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示； 項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的'個數(shù)，一般用n表示；
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示；
通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示
基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1 ,an, d, n, sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an = a1+（n－1）d；
通項＝首項＋（項數(shù)一1) ×公差；
數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
數(shù)列和＝（首項＋末項）×項數(shù)÷2；
項數(shù)公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
項數(shù)=（末項-首項）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末項－首項）÷（項數(shù)－1）；
關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式
數(shù)列公式 6
在幾個公式中，最常用的是中項求和公式，其次是高斯求和公式。希望同學(xué)們能對這兩個公式重點掌握和應(yīng)用。
常見例題解析：
例1.某劇院有25排座位，后一排比前一排多一個，第一排有10個，請問一共有多少個座位?
A. 500 B. 550 C.600 D.650
【答案】B。第一排有10人，最后一排有10+(25-1)×1=34。根據(jù)高斯求和公式得：Sn=25(10+34)÷2=550。所以選擇B。
例2.劇院當(dāng)中 共有33排，每一排比前排多2人，第一排有10人，請問該劇場共有多少人?
A.1250 B. 1386 C.1428 D.1576
【答案】B。因為一共有33排，所有根據(jù)中項求和公式得:Sn=33a17。一定能夠被33整除，即你能背3整除又能被11整除。符合條件的只有1386。所以我們選擇B。
由于等比數(shù)列求和公式少，所以考法也相對簡單。有的時候是直接應(yīng)用公式進行解題，有的.時候只是用等比數(shù)列的思想，并不用求和公式。
常見例題解析：
例3.一種細(xì)菌分裂成第一天的兩倍，經(jīng)過20天的時間可以長滿整個培養(yǎng)皿，請問第幾天可以漲到一半?
A.10 B. 15 C.18 D.19
【答案】D。每天是頭一天的兩倍，20天的時候長滿，則第19天的時候應(yīng)該正好長到培養(yǎng)皿的一半。所以選擇D。
例4.老師向告訴小明一個消息，用了一分鐘。事情緊急，老師和小明要不斷地給其他同學(xué)打電話告知該消息并讓知道這個消息的同學(xué)盡快把這個消息通知給其他人。班里面以公共有60個學(xué)生，請問最快需要多長時間可以讓所有人都知道該消息?
A.3 B. 4 C.5 D.6
【答案】D。一分鐘后，有老師和小明2個知道。2分鐘后有4個人知道;3分鐘后有8個人知道;4分鐘后有16個人知道;5分鐘后有32個人知道;6分鐘后有64個人知道，大于老師和60個學(xué)生的數(shù)量和61，所以6分鐘后所有人都可以知道該消息了。
這兩類數(shù)列掌握之后，做題的時候便可助你一臂之力了。
數(shù)列公式 7
等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程：
設(shè)首項為a1 ,末項為an ,項數(shù)為n ,公差為d ,前n項和為Sn ,則有:Sn=(a1+an)n/2 ;Sn=na1+n(n-1)d/2(d為公差)
當(dāng)d≠0時，Sn是n的二次函數(shù)，(n，Sn)是二次函數(shù)的.圖象上一群孤立的點。利用其幾何意義可求前n項和Sn的最值。
注意：公式一二三事實上是等價的，在公式一中不必要求公差等于一。
求和推導(dǎo)證明：由題意得：Sn=a1+a2+a3+...+an①
Sn=an+a(n-1)+a(n-2)+...+a1②
①+②得：2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an](當(dāng)n為偶數(shù)時)
Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2
Sn=n(A1+An)/2 (a1，an，可以用a1+(n-1)d這種形式表示可以發(fā)現(xiàn)括號里面的數(shù)都是一個定值，即(A1+An)
數(shù)列公式 8
等比數(shù)列求和公式
q≠1時，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)
q=1時，Sn=na1
(a1為首項,an為第n項,d為公差,q為等比)
這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數(shù)列a1≠ 0。注：q=1時，{an}為常數(shù)列。利用等比數(shù)列求和公式可以快速的'計算出該數(shù)列的和。
等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)
Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)
qSn=a1q + a2q + a3q +...+ anq = a2+ a3+ a4+...+ an+ a(n+1)
Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
a(n+1)=a1qn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)(q≠1)
數(shù)列公式 9
一、高中數(shù)列基本公式：
1、一般數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系：an=
2、等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項、ak為已知的第k項) 當(dāng)d≠0時，an是關(guān)于n的一次式;當(dāng)d=0時，an是一個常數(shù)。
3、等差數(shù)列的前n項和公式：Sn= Sn= Sn=
當(dāng)d≠0時，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項為0;當(dāng)d=0時(a1≠0)，Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。
4、等比數(shù)列的通項公式： an= a1 qn-1an= ak qn-k
(其中a1為首項、ak為已知的第k項，an≠0)
5、等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q=1時，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式);
當(dāng)q≠1時，Sn= Sn=
二、高中數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的'結(jié)論
1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。
2、等差數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則
3、等比數(shù)列{an}中，若m+n=p+q，則
4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。
5、兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。
6、兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列
{an bn}、、仍為等比數(shù)列。
7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。
8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。
9、三個數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d，a，a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d，a-d，a+d，a+3d
10、三個數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q，a，aq;
三、個數(shù)成等比的錯誤設(shè)法：a/q3，a/q，aq，aq3 (為什么?)
11、{an}為等差數(shù)列，則 (c>;0)是等比數(shù)列。
12、{bn}(bn>;0)是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>;0且c1) 是等差數(shù)列。
13. 在等差數(shù)列中：
(1)若項數(shù)為，則
(2)若數(shù)為則，
14. 在等比數(shù)列中：
(1) 若項數(shù)為，則
(2)若數(shù)為則，
數(shù)列公式 10
數(shù)列的基本概念 等差數(shù)列
(1)數(shù)列的通項公式an=f(n)
(2)數(shù)列的遞推公式
(3)數(shù)列的通項公式與前n項和的關(guān)系
an+1-an=d
an=a1+(n-1)d
a，A，b成等差 2A=a+b
m+n=k+l am+an=ak+al
等比數(shù)列 常用求和公式
an=a1qn_1
a，G，b成等比 G2=ab
m+n=k+l aman=akal
不等式
不等式的基本性質(zhì) 重要不等式
a>b b
a>b，b>c a>c
a>b a+c>b+c
a+b>c a>c-b
a>b，c>d a+c>b+d
a>b，c>0 ac>bc
a>b，c<0 ac
a>b>0，c>d>0 ac
a>b>0 dn>bn(n∈Z，n>1)
a>b>0 > (n∈Z，n>1)
(a-b)2≥0
a，b∈R a2+b2≥2ab
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
證明不等式的`基本方法
比較法
(1)要證明不等式a>b(或a
a-b>0(或a-b<0=即可
(2)若b>0，要證a>b，只需證明 ，
要證a
綜合法 綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出欲證的不等式(由因?qū)Ч?的方法。
分析法 分析法是從尋求結(jié)論成立的充分條件入手，逐步尋求所需條件成立的充分條件，直至所需的條件已知正確時為止，明顯地表現(xiàn)出“持果索因”
數(shù)列公式 11
一、知識與技能
1.了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列;
2.正確認(rèn)識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項.
二、過程與方法
1.通過對等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生：的觀察力及歸納推理能力；
2.通過等差數(shù)列變形公式的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生：思維的深刻性和靈活性.
三、情感態(tài)度與價值觀
通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學(xué)生：的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識.
教學(xué)過程
導(dǎo)入新課
師：上兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出數(shù)列和表示數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點.下面我們看這樣一些數(shù)列的例子：(課本P41頁的4個例子)
(1)0，5，10，15，20，25，…;
(2)48，53，58，63，…;
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….
請你們來寫出上述四個數(shù)列的第7項.
生：第一個數(shù)列的第7項為30，第二個數(shù)列的第7項為78，第三個數(shù)列的第7項為3，第四個數(shù)列的第7項為10 510.
師：我來問一下，你依據(jù)什么寫出了這四個數(shù)列的第7項呢?以第二個數(shù)列為例來說一說.
生：這是由第二個數(shù)列的后一項總比前一項多5，依據(jù)這個規(guī)律性我得到了這個數(shù)列的第7項為78.
師：說得很有道理!我再請同學(xué)們仔細(xì)觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？我說的是共同特征.
生：1每相鄰兩項的差相等，都等于同一個常數(shù).
師：作差是否有順序，誰與誰相減？
生：1作差的'順序是后項減前項，不能顛倒.
師：以上四個數(shù)列的共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)(即等差)；我們給具有這種特征的數(shù)列起一個名字叫——等差數(shù)列.
這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容.
推進新課
等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常用字母“d”表示).
（1）公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；
（2）對于數(shù)列{an}，若an-a n-1=d(與n無關(guān)的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N*，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d叫做公差.
師：定義中的關(guān)鍵字是什么?(學(xué)生：在學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到一些概念，能否抓住定義中的關(guān)鍵字，是能否正確地、深入的理解和掌握概念的重要條件，更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的重要一環(huán).因此教師：應(yīng)該教會學(xué)生：如何深入理解一個概念，以培養(yǎng)學(xué)生：分析問題、認(rèn)識問題的能力)
生：從“第二項起”和“同一個常數(shù)”.
師：很好！
師：請同學(xué)們思考：數(shù)列(1)、(2)、(3)、(4)的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？
生：數(shù)列(1)通項公式為5n-5，數(shù)列(2)通項公式為5n+43，數(shù)列(3)通項公式為2.5n-15.5，….
師：好，這位同學(xué)用上節(jié)課學(xué)到的知識求出了這幾個數(shù)列的通項公式，實質(zhì)上這幾個通項公式有共同的特點，無論是在求解方法上，還是在所求的結(jié)果方面都存在許多共性，下面我們來共同思考.
［合作探究］
等差數(shù)列的通項公式
師：等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關(guān)系而得到的，若一個等差數(shù)列{an}的首項是a1，公差是d，則據(jù)其定義可得什么?
生：a2-a1=d,即a2=a1+d.
師：對，繼續(xù)說下去!
生：a3-a2=d,即a3=a2+d=a1+2d;
a4-a3=d,即a4=a3+d=a1+3d;
……
師：好！規(guī)律性的東西讓你找出來了，你能由此歸納出等差數(shù)列的通項公式嗎?
生：由上述各式可以歸納出等差數(shù)列的通項公式是an=a1+(n-1)d.
師：很好!這樣說來，若已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項a1和公差d，便可求得其通項an了.需要說明的是：此公式只是等差數(shù)列通項公式的猜想，你能證明它嗎?
生：前面已學(xué)過一種方法叫迭加法，我認(rèn)為可以用.證明過程是這樣的：
因為a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d.將它們相加便可以得到：an=a1+(n-1)d.
師：太好了!真是活學(xué)活用啊!這樣一來我們通過證明就可以放心使用這個通項公式了.
［教師：精講］
由上述關(guān)系還可得：am=a1+(m-1)d,
即a1=am-(m-1)d.
則an=a1+(n-1)d=am-(m-1)d+(n-1)d=am+(n-m)d,
即等差數(shù)列的第二通項公式an=am+(n-m)d.(這是變通的通項公式)
由此我們還可以得到.
［例題剖析］
【例1】（1）求等差數(shù)列8，5，2,…的第20項;
（2）-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？
師：這個等差數(shù)列的首項和公差分別是什么?你能求出它的第20項嗎?
生：1這題太簡單了!首項和公差分別是a1=8,d=5-8=2-5=-3.又因為n=20，所以由等差數(shù)列的通項公式，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.
師：好!下面我們來看看第（2）小題怎么做.
生：2由a1=-5,d=-9-(-5)=-4得數(shù)列通項公式為an=-5-4(n-1).
由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項.
師：剛才兩個同學(xué)將問題解決得很好，我們做本例的目的是為了熟悉公式，實質(zhì)上通項公式就是an,a1,d,n組成的方程(獨立的量有三個).
說明:(1)強調(diào)當(dāng)數(shù)列｛an｝的項數(shù)n已知時，下標(biāo)應(yīng)是確切的數(shù)字；(2)實際上是求一個方程的正整數(shù)解的問題.這類問題學(xué)生：以前見得較少，可向?qū)W生：著重點出本問題的實質(zhì)：要判斷-401是不是數(shù)列的項，關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項公式an，判斷是否存在正整數(shù)n，使得an=-401成立.
【例2】已知數(shù)列{an}的通項公式an=pn+q，其中p、q是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？
例題分析：
師：由等差數(shù)列的定義，要判定{an}是不是等差數(shù)列，只要根據(jù)什么?
生：只要看差an-an-1(n≥2)是不是一個與n無關(guān)的常數(shù).
師：說得對，請你來求解.
生：當(dāng)n≥2時，〔取數(shù)列{an}中的任意相鄰兩項an-1與an(n≥2)〕
an-an-1=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p為常數(shù),
所以我們說{an}是等差數(shù)列，首項a1=p+q，公差為p.
師：這里要重點說明的是：
(1)若p=0，則{an}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，….
(2)若p≠0，則an是關(guān)于n的一次式，從圖象上看，表示數(shù)列的各點(n，an)均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上，一次項的系數(shù)是公差p，直線在y軸上的截距為q.
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項an=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式.課堂練習(xí)
(1)求等差數(shù)列3，7，11，…的第4項與第10項.
分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所┣笙.
解：根據(jù)題意可知a1=3，d=7-3=4.∴該數(shù)列的通項公式為an=3+(n-1)×4，即an=4n-1(n≥1，n∈N*).∴a4=4×4-1=15，a 10=4×10-1=39.
評述：關(guān)鍵是求出通項公式.
(2)求等差數(shù)列10，8，6，…的第20項.
解：根據(jù)題意可知a1=10，d=8-10=-2.
所以該數(shù)列的通項公式為an=10+(n-1)×(-2)，即an=-2n+12，所以a20=-2×20+12=-28.
評述：要求學(xué)生：注意解題步驟的規(guī)范性與準(zhǔn)確性.
(3)100是不是等差數(shù)列2，9，16，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.
分析：要想判斷一個數(shù)是否為某一個數(shù)列的其中一項，其關(guān)鍵是要看是否存在一個正整數(shù)n值，使得an等于這個數(shù).
解：根據(jù)題意可得a1=2，d=9-2=7.因而此數(shù)列通項公式為an=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15.所以100是這個數(shù)列的第15項.
(4)-20是不是等差數(shù)列0，-7，…的項？如果是，是第幾項？如果不是，請說明理由.
解：由題意可知a1=0，,因而此數(shù)列的通項公式為.
令，解得.因為沒有正整數(shù)解，所以-20不是這個數(shù)列的項.
課堂小結(jié)
師：（1）本節(jié)課你們學(xué)了什么？（2）要注意什么？（3）在生：活中能否運用？(讓學(xué)生：反思、歸納、總結(jié),這樣來培養(yǎng)學(xué)生：的概括能力、表達(dá)能力)
生：通過本課時的學(xué)習(xí)，首先要理解和掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式a n-a n-1=d(n≥2);其次要會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d(n≥1).
數(shù)列公式 12
不過一般分小題、有梯度設(shè)問，往往是第1小題就是求數(shù)列的通項公式，難度適中，一般考生可突破，爭取分?jǐn)?shù)，而且是做第2小題的基礎(chǔ)，因此，求數(shù)列通項公式的解題方法、技巧，每一位考生都必須熟練掌握。求數(shù)列通項公式的題型很多，不同的題型有不同的解決方法。下面結(jié)合教學(xué)實踐，談?wù)勄髷?shù)列通項公式的解題思路。
一、已知數(shù)列的前幾項
已知數(shù)列的前幾項，求通項公式。通過觀察找規(guī)律，分析出數(shù)列的項與項數(shù)之間的關(guān)系，從而求出通項公式。這種方法稱為觀察法，也即是歸納推理。
例1、求數(shù)列的通項公式
（1）0，22——1/3，32——1/4，42＋1/5……
（2）9，99，999，……
分析：（1）0=12——1/2，每一項的分子是項數(shù)的平方減去1，分母是項數(shù)加上1，n2——1/n＋1＝n——1，其實，該數(shù)列各項可化簡為0，1，2，3，……，易知an＝n——1。
（2）各項可拆成10-1，102-1，103-1，……，an＝10n——1。
此題型主要通過讓學(xué)生觀察、試驗、歸納推理等活動，且在此基礎(chǔ)上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。
二、已知數(shù)列的前n項和Sn
已知數(shù)列的前n項和Sn，求通項公式an，主要通過an與Sn的關(guān)系轉(zhuǎn)化，即an -{ S1（n＝1） Sn -Sn——1（n≥2）
例2、已知數(shù)列{an }的前n項和Sn=2n+3，求an
分析：Sn=a1+a2 +……+an——1+an
Sn——1＝a1+a2 +……+an——1
上兩式相減得 Sn -Sn——1=an
解：當(dāng)n=1時，a1=S1=5
當(dāng)n≥2時，an =Sn -Sn——1=2n+3-（2n——1+3）=2n——1
∵n=1不適合上式
∴an ={5（n=1） 2n——1（n≥2）
三、已知an與Sn關(guān)系
已知數(shù)列的第n項an與前n項和Sn間的關(guān)系：Sn=f（an），求an。一般的思路是先將Sn與an的關(guān)系轉(zhuǎn)化為an與an——1的關(guān)系，再根據(jù)與的關(guān)系特征分為如下幾種類型。不同的類型，要用不同的方法解決。
（1）an=an——1+k。數(shù)列屬等差數(shù)列，直接代公式可求通項公式。
例3、已知數(shù)列{an}，滿足a1=3，an=an——1+8，求an。
分析：由已知條件可知數(shù)列是以3為首項，8為公差的等差數(shù)列，直接代公式可求得an=8n-5。
（2）an=kan——1（k為常數(shù)）。數(shù)列屬等比數(shù)列，直接代公式可求通項公式。
例4、數(shù)列{an}的前n項和Sn,a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N+）
求數(shù)列{an}的通項公式。
分析：根據(jù)an與Sn的關(guān)系，將an+1=2Sn+1轉(zhuǎn)化為an與an+1的'關(guān)系。
解：由an+1=2Sn+1
得an=2Sn-1+1（n≥2）
兩式相減，得an+1-an=2an
∴an+1=3an （n≥2）
∵a2=2Sn+1=3
∴a2=3a1
∴{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列
∴an=3n-1
（3）an+1=an+f（n），用疊加法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2=a1+f（1）
a3=a2+f（2）
a4=a3+f（3）
……
+）an=an——1+f（n-1）
an=a1+f（1）+f（2）+…+f（n-1）
例5、若數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=an+2n
則{an}的通項公式=（ ）
解：∵an+1=an+2n
∴a2 =a1+2×1
a3=a2+2×2
a4=a3+2×3
……
+）an=an——1+2（n-1）
an=a1+2（1+2+3+…+n-1）
=2+2×（1+n-1）（n-1）
=n2-n+2
（4）an+1=f（n）an，用累積法
思路：令n=1，2，3，……，n-1
得a2 =f（1）a1 a3=f（2）a2 a4=f（3）a3
……
×）an=f（n-1）an-1
an=a1·f（1）·f（2）·f（3）……f（n-1）
例6、若數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2n+an，則an=（ ）
解：∵an+1=2nan ∴a2 =21a1
a3=22a2 a4=23a3
……
×） an=2n——1·an——1
an=2·22·23·……·2n-1a1=2n（n-1）/2
（5）an=pan——1+q， an=pan——1+f（n）
an+1=an+p·qn（pq≠0），
an=p（an——1）q， an+1=ran/pan+q=（pr≠0，q≠r）
（p、q、r為常數(shù)）
這些類型均可用構(gòu)造法或迭代法。
①an=pan——1+q （p、q為常數(shù)）
構(gòu)造法：將原數(shù)列的各項均加上一個常數(shù)，構(gòu)成一個等比數(shù)列，然后，求出該等比數(shù)列的通項公式，再還原為所求數(shù)列的通項公式。
將關(guān)系式兩邊都加上x
得an+x=Pan——1+q+x
=P（an——1 + q+x/p）
令x=q+x/p，得x=q/p-1
∴an+q/p-1=P（an——1+q/p-1）
∴{an+q/p-1}是以a1+q/p-1為首項，P為公比的等比數(shù)列。
∴an+q/p-1=（a1+q/p-1）Pn-1
∴an=（a1+q/p-1）Pn-1-q/p-1
迭代法：an=p（an——1+q）=p（pan-2+q）+q
=p2（（pan-3+q）+pq+q……
例7、數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2an-n（n∈N+）求an
解析：由Sn=2an-n 得Sn-1=2an-1-（n-1） （n≥2,n∈N+）
兩式相減得an=2an-1+1
兩邊加1得an+1=2（an-1+1） （n≥2，n∈N+）
構(gòu)造成以2為公比的等比數(shù)列{an+1}
②an=Pan-1+f（n）
例8、數(shù)列{an}中，a1為常數(shù)，且an=-2an-1+3n-1（≥2，n∈N）
證明：an=（-2）n-1a1+3n+（-1）n·3·2n-1/5
分析：這道題是證明題，最簡單的方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)用構(gòu)造法和迭代法來證明。
方法一：構(gòu)造公比為-2的等比數(shù)列{an+λ·3n}
用比較系數(shù)法可求得λ=-1/5
方法二：構(gòu)造等差型數(shù)列{an/（-2）n}。由已知兩邊同以（-2）n，得an/（-2）n=an-1/（-2）n=1/3·（-3/2）n，用疊加法處理。
方法三：迭代法。
an=-2an-1+3n-1=-2（-2an-2+3n-2）+3n-1
=（-2）2an-2+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）2（-2an-3+3n-3）+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）3an-3+（-2）·3n-3+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+（-2）n-1·3+（-2）n-3·+32+……+（-2）·3n-2+3n-1
=（-2）n-1a1+3n+（-1）n-2·3·2n-1/5
③an+1=λan+p·qn（pq≠0）
（ⅰ）當(dāng)λ=qn+1時，等式兩邊同除以，就可構(gòu)造出一個等差數(shù)列{an/qn}。
例9、在數(shù)列{an}中，a1=4，an+1+2n+1，求an。
分析：在an+1=2an+2n+1兩邊同除以2n+1，得an+1/2n+1=an/2n+1
∴{an/2n}是以a1/2=2為首項，1為公差的等差數(shù)列。
（ⅱ）當(dāng)λ≠q時，等式兩邊同除以qn+1，令bn=an/qn，得bn+1=λ/qbn+p，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
例10、已知a1=1，an=3an-1+2n-1，求an
分析：從an=3an-1+2n-1兩邊都除以2n，
得an/2n=3/2 an-1/2n-1+1/2
令an/2n=bn
則bn=3/2bn-1+1/2
④an=p（an——1）q（p、q為常數(shù)）
例11、已知an=1/a an——12，首項a1，求an。
方法一：將已知兩邊取對數(shù)
得lgan=2lgan——1-lga
令bn=lgan
得bn=2bn-1-lga，再構(gòu)造成等比數(shù)列求bn，從而求出an。
方法二：迭代法
an=1/a a2n——1=1/a （1/a a2n——2）2=1/a3 a4n——2
=1/a3 （1/a a2n——3）4=1/a7·an——38=a·（an——3/a）23
=……=a·（a1/a）2n——1
⑤an+1=ran/pan+q（p、q、r為常數(shù)，pr≠0，q≠r）
將等式兩邊取倒數(shù)，得1/an+1=q/r·1/an+p/r，再構(gòu)造成等比數(shù)列求an。
例12、在{an}中，a1=1，an+1=an/an+2，求an
解：∵an+1=an/an+2
∴1/an+1=2·1/an+1
兩邊加上1，得1/an+1+1=2（1/an+1）
∴{1/an+1}是以1/an+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴ 1/an+1=2×2n-1=2n
∴an=1/2n-1
以上羅列出求數(shù)列通項公式的解題思路雖然很清晰，但是一般考生對第三項中的5種類型題用構(gòu)選法和迭代法都比較困難的。遇到此情況，可轉(zhuǎn)化為第一種類型解決，即從an與Sn的關(guān)系式求出數(shù)列的前幾項，用觀察法求an。
數(shù)列公式 13
等差數(shù)列公式an=a1+(n-1)d
a1為首項，an為第n項的'通項公式，d為公差
前n項和公式為：Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q則：存在am+an=ap+aq
若m+n=2p則：am+an=2ap
以上n.m.p.q均為正整數(shù)
文字翻譯
第n項的值an=首項+（項數(shù)-1）×公差
前n項的和Sn=首項×n+項數(shù)(項數(shù)-1）公差/2
公差d=(an-a1)÷（n-1）
項數(shù)=（末項-首項）÷公差+1
數(shù)列為奇數(shù)項時，前n項的和=中間項×項數(shù)
數(shù)列為偶數(shù)項，求首尾項相加，用它的和除以2
等差中項公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差數(shù)列
通項公式
公差×項數(shù)+首項-公差
數(shù)列公式 14
在高一（5）班上好“等差數(shù)列求和公式”這一堂課后，通過和學(xué)生的互動，我對求和公式上課時遇到的幾點問題提出了一點思考：
一、對內(nèi)容的理解及相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計
1、“數(shù)列前n項的和”是針對一般數(shù)列而提出的一個概念，教材在這里提出這個概念只是因為本節(jié)內(nèi)容首次研究數(shù)列前n項和的問題。因此，教學(xué)設(shè)計時應(yīng)注意“從等差數(shù)列中跳出來”學(xué)習(xí)這個概念，以免學(xué)生誤認(rèn)為這只是等差數(shù)列的一個概念。
2、等差數(shù)列求和公式的教學(xué)重點是公式的推導(dǎo)過程，從“掌握公式”來解釋，應(yīng)該使學(xué)生會推導(dǎo)公式、理解公式和運用公式解決問題。其實還不止這些，讓學(xué)生體驗推導(dǎo)過程中所包含的數(shù)學(xué)思想方法才是更高境界的教學(xué)追求，這一點后面再作展開。本節(jié)課在這方面有設(shè)計、有突破，但教師組織學(xué)生討論與交流的環(huán)節(jié)似乎還不夠充分，因為這個層面上的學(xué)習(xí)更側(cè)重于讓學(xué)生“悟”。
3、用公式解決問題的內(nèi)容很豐富。本節(jié)課只考慮“已知等差數(shù)列，求前n項”的問題，使課堂不被大量的變式問題所困擾，而能專心將教學(xué)的重點放在公式的推導(dǎo)過程。這樣的處理比較恰當(dāng)。
二、求和公式中的數(shù)學(xué)思想方法
在推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的過程中，有兩種極其重要的數(shù)學(xué)思想方法。一種是從特殊到一般的探究思想方法，另一種是從一般到特殊的化歸思想方法。
從特殊到一般的探究思想方法大家都很熟悉，本節(jié)課基本按教材的設(shè)計，依次解決幾個問題。
從一般到特殊的'化歸思想方法的揭示是本節(jié)課的最大成功之處。以往人們常常只注意到“倒序相加”是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的關(guān)鍵，而忽視了對為什么要這樣做的思考。同樣是求和，與的本質(zhì)區(qū)別是什么？事實上，前者是100個不相同的數(shù)求和，后者是50個相同數(shù)的求和，求和的本質(zhì)區(qū)別并不在于是100個還是50個，而在于“相同的數(shù)”與“不相同的數(shù)”。相同的數(shù)求和是一個極其簡單并且在乘法中早已解決了的問題，將不“相同的數(shù)求和”（一般）化歸為“相同數(shù)的求和”（特殊），這就是推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的思想精髓。不僅如此，將一般的求和問題化歸為我們會求（特殊）的求和問題這種思想還將在以后的求和問題中反復(fù)體現(xiàn)。
在等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過程中，其實有這樣一個問題鏈：
為什么要對和式分組配對？（因為想轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和）
為什么要“倒序相加”？（因為可以避免項數(shù)奇偶性討論）
為什么“倒序相加”能轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和？（因為等差數(shù)列性質(zhì)）
由此可見，“倒序相加”只是一種手段和技巧，轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和是解決問題的思想，等差數(shù)列自身的性質(zhì)是所采取的手段能達(dá)到目的的根本原因。
三、幾點看法
1、注意挖掘基礎(chǔ)知識的教學(xué)內(nèi)涵
對待概念、公式等內(nèi)容，如果只停留在知識自身層面，那么教學(xué)常常會落入死記硬背境地。其實越是基礎(chǔ)的東西其所包含的思想方法往往越深刻，值得大家?guī)ьI(lǐng)學(xué)生去認(rèn)真體驗，當(dāng)然這樣的課不好上。
2、用好教材
現(xiàn)在的教材有不少好的教學(xué)設(shè)計，需要教師認(rèn)真對待，反復(fù)領(lǐng)會教材的意圖。當(dāng)然，由于教材的客觀局限性，還需要教師去處理教材。譬如本節(jié)課，課堂所呈現(xiàn)的基本上是教材的內(nèi)容順序和教學(xué)設(shè)計，但面對教材所給的全部內(nèi)容時，課堂能否在某個環(huán)節(jié)上停下來，能否合理地選取教材的一部分內(nèi)容作為這一節(jié)課的內(nèi)容，而將其他的內(nèi)容留到后面的課，這就體現(xiàn)教師的認(rèn)識和處理教材的水平。
3、學(xué)無止境
一堂課所要追求的教學(xué)價值當(dāng)然是盡量能多一些更好，但應(yīng)分清主次。譬如本節(jié)課還用了幾個“實際生活問題”，意圖是明顯的，教師的提問和處理也比較恰當(dāng)。課沒有最好只有更好！
數(shù)列公式 15
一、分組轉(zhuǎn)化求和法
若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和
解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）
=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）
=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）
=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2
=n（n+1）2
二、奇偶分析求和法
求一個數(shù)列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。
例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
分析：觀察數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關(guān)，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項求和法求的結(jié)果。
解：當(dāng)n為偶數(shù)時，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2
=-n2-n2+n2+n2=n
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）
=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）
=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2
=-n2+n2+n2-n2=-n
綜上所述，Sn=（-1）nn
三、并項求和法
一個數(shù)列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的性質(zhì)，因此可以幾項結(jié)合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。
例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）
=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050
四、基本公式法
如果一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。
常用公式有
（1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2
（2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）
（3）1+2+3+…+n=n（n+1）2
（4）1+3+5+…+2n-1=n2
（5）2+4+6+…+2n=n（n+1）
（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）
（7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2
例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設(shè)Sn是數(shù)列an的`前n項和，求Sn。
解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12
∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1
五、裂項相消法
如果一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。
裂項相消法中常用的拆項轉(zhuǎn)化公式有：
（1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）
（2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）
（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]
（4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），
其中n∈N，k∈R且k≠0
例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。
解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）
=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）
=2（1-1n+1）=2nn+1
數(shù)列公式 16
等差數(shù)列公式
1.定義式
2.通項公式
3.求和公式
4.前n項和公式
等差數(shù)列推論
(1)從通項公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d≠0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d≠0)或一次函數(shù)(d=0，a1≠0)，且常數(shù)項為0。
(2)從等差數(shù)列的'定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=......=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
(3)若m，n，p，q∈N__，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)__a(n)，S(2n+1)=(2n+1)__a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)__k-S(n-1)__k…成等差數(shù)列，等等。若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2__a(p)。
證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)__m+b(0)+b(1)__n=2__b(0)+b(1)__(m+n);p(p)+p(q)=b(0)+b(1)__p+b(0)+b(1)__q=2__b(0)+b(1)__(p+q);因為m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p。
(4)其他推論：
①和=(首項+末項)×項數(shù)÷2;
②項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1;
③首項=2x和÷項數(shù)-末項或末項-公差×(項數(shù)-1);
④末項=2x和÷項數(shù)-首項;
⑤末項=首項+(項數(shù)-1)×公差;
⑥2(前2n項和-前n項和)=前n項和+前3n項和-前2n項和。
數(shù)列求和方法
1、公式法
2、錯位相減法
3、倒序相加法
4、分組法
5、裂項相消法
6、歸納法
7、通項化歸法
先將通項公式進行化簡，再進行求和。
如：求數(shù)列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
8、并項求和法
(常采用先試探后求和的方法)
例：1-2+3-4+5-6+……+(2n-1)-2n
方法一：(并項)
求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。
方法二：
(1-2)+(3-4)+(5-6)+……+[(2n-1)-2n]
方法三：
構(gòu)造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。
an=n(-1)^(n+1)
9、求和公式
【數(shù)列公式】相關(guān)文章：
數(shù)列公式大全03-12
(通用)數(shù)列公式大全03-12
《數(shù)列的極限》說課槁07-30
圓的周長公式和面積公式整理02-21
魔方的公式是什么03-11
數(shù)學(xué)計算公式09-30
高二物理公式03-01
數(shù)學(xué)計算公式大全03-12