倍數和因數的教學后記
蘇教版課程標準數學實驗教材八年級（下冊）“倍數和因數”與老教材比較有較大的變化。傳統的教材按除法—整除—約數和倍數的順序安排，課程標準數學實驗教材是按操作—乘法—倍數和因數的順序編寫，倍數和因數的概念建立在直觀模型之上。教材的變化呼喚教師教學理念的更新和教學方法的改進。筆者四次執教該課，對教學內容和呈現形式作了微調處理并重視與學生平等對話，最終取得了比較好的效果。
1.例3中36的因數如何書寫？
第一次試上時我采用了從小到大依次書寫的方法，第二次試上時我采用了一對一對書寫的方法：1、36，2、18，3、12、4、9、6。第一種方法便于學生發現一個數的因數的特征，但書寫時比較麻煩；后一種方法書寫起來比較方便，但由于因數不是按大小順序排列，所以不利于學生發現一個數因數的特征。后面的教學中我對寫法作了微調處理：即一對一對書寫，但是從兩邊向中間書寫，最后按從小到大的順序排列。實踐證明效果很好，既注重了順序，也兼顧了方法，且有利于學生發現一個數因數的特征。
2.到底要讓學生發現什么？
在教學完例2、例3及其各自的“試一試”后，教材都呈現問題：“觀察上面幾個例子，你有什么發現？”不少教師認為只要學生能發現教材上揭示的幾條一個數的因數或倍數的特征就行了，但我認為，發現的結果不應完全局限于教材上揭示的幾條特征。因為發現的過程是學生主動參與的過程，是學生通過經歷、觀察、猜測、概括等活動獲得知識的過程，這一過程是自由的、開放的。我對這一教學內容的微調處理是：放手讓學生去探索發現，對于學生的觀點只作最后的評判，并選擇幾條正確的結論揭示在黑板上（當然包括教材中的結論）。事實證明，這樣的微調處理激活了學生的潛能，彰顯了學生的個性。
3.“有限”和“無限”的結論怎樣呈現？
讓學生認識“一個數的倍數的個數是無限的”和“一個數的因數的個數是有限的”，教材是分開編排的，即在學習找一個數的倍數后學習前者，在學習完找一個數的因數后再學習后者。我認為在學生學會找一個數的倍數和因數以后，結合板書比較，學生對“有限”和“無限”的理解更加深刻，教學的過程也更加順暢。實踐證明，這一微調處理也更符合學生的認知需求。
與學生平等對話是一種有效的教學方式。傳統的問答式教學，學生大多以被動的方式接受學習，很難自己確定思考的方向；有時問答的頻度過高，不利于學生對問題作深度思考。對話的教學方式則不然。當學生進入對話狀態時，他們能積極主動地與同學或教師進行交流，在思維的碰撞中，對問題的認識易于走向深入。現記錄學生觀察36、15和16這三個數的因數后的對話。
生：我認為雙數的因數中都有2。
師：真聰明！
生：我發現雙數的因數是成對成對出現的，而單數的因數個數也是單數。
生：我認為不對，因為單數15的因數個數是4個，4是雙數。
生：單數的因數全部是單數。
師：是嗎？大家再找個單數，寫出它的所有因數，看看他的發現是否正確。
學生驗證檢查后，發現是正確的。我及時地表揚了這個學生。
生：我發現1是任何自然數的因數。
師：真了不起，1是任何自然數的因數。再看看一個數的因數中1的大小怎樣？
生：最小。
師：那么我們可以說一個數最小的因數是幾？
生：一個數最小的因數是1。
生：一個數最大的因數就是它自己。
教師引導學生觀察后，共同作出肯定的評價。
師：一個數最大的因數是它自己，這句話，我們又可以說成，一個數最大的因數就是它本身。
生：老師，我還發現一個數最大的因數又是它的倍數。
……
學生的精彩發言大大出乎我的意料。我想這與教學中平等的對話氛圍是分不開的。首先，我把自己定位在與學生平等的話語地位上，用“仰視”的姿態去欣賞學生的發言，讓學生心理放松，敢想敢說。其次，絕不輕易打斷學生的發言。不管學生的發現在不在點子上，只要他有觀點要表達，都要讓他把話說完。再次，不失時機地通過鼓勵和表揚等方式肯定學生的對話成果，即使認識上有錯誤，也要肯定他敢于發表觀點的勇氣。最后，為使對話緊緊圍繞主題，注意及時進行適當的引導點撥（引導點撥不能太多，多則會經常打斷學生的思維）。比如，在學生發現，1是任何自然數的因數后，我及時表揚他的發現“真了不起”，同時，通過引導學生“看看一個數的因數中1的大小怎樣”，把學生的觀察引向一個數最小的因數和最大的因數。教師的適當點撥有益于對話的順利推進，有益于學生的認識不斷深入。
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